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2015年江苏省高考数学试卷

时间:2018-12-25 23:32:33   作者:第一文库网   来源:   阅读:164   评论:0
内容摘要:2015年江苏省高考数学试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)(2015江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为 5 .考点:并集及其运算.菁优网版权所有专题:集合.分析:求出A∪B,再明确元素个数解答:解:集合A={1,2,...

 

2015年江苏省高考数学试卷

 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)

1.(5分)(2015江苏)已知集合A={123}B={245},则集合A∪B中元素的个数为5

 

考点

并集及其运算.菁优网版权所有

专题

集合.

分析:

求出A∪B,再明确元素个数

解答:

解:集合A={123}B={245},则A∪B={12345}

所以A∪B中元素的个数为5

故答案为:5

点评:

题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题

2.(5分)(2015江苏)已知一组数据465876,那么这组数据的平均数为6

 

考点

众数、中位数、平均数.菁优网版权所有

专题

概率与统计.

分析:

直接求解数据的平均数即可.

解答:

解:数据465876

那么这组数据的平均数为:2015年江苏省高考数学试卷=6

故答案为:6

点评:

本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查.

3.(5分)(2015江苏)设复数z满足z2=3+4ii是虚数单位),则z的模为2015年江苏省高考数学试卷

 

考点

复数求模.菁优网版权所有

专题

数系的扩充和复数.

分析:

直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可.

解答:

解:复数z满足z2=3+4i

可得|z||z|=|3+4i|=2015年江苏省高考数学试卷=5

∴|z|=2015年江苏省高考数学试卷

故答案为:2015年江苏省高考数学试卷

点评:

本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力.

4.(5分)(2015江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S7

2015年江苏省高考数学试卷 

 

考点

伪代码.菁优网版权所有

专题

图表型;算法和程序框图.

分析:

模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的IS的值,当I=10时不满足条件I8,退出循环,输出S的值为7

解答:

解:模拟执行程序,可得

S=1I=1

满足条件I8S=3I=4

满足条件I8S=5I=7

满足条件I8S=7I=10

不满足条件I8,退出循环,输出S的值为7

故答案为:7

点评:

本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.

5.(5分)(2015江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为2015年江苏省高考数学试卷

 

考点

古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有

专题

概率与统计.

分析:

根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可.

解答:

解:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为C1C2,则

一次取出2只球,基本事件为ABAC1AC2BC1BC2C1C26种,

其中2只球的颜色不同的是ABAC1AC2BC1BC25种;

所以所求的概率是P=2015年江苏省高考数学试卷

故答案为:2015年江苏省高考数学试卷

点评:

本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.

6.(5分)(2015江苏)已知向量2015年江苏省高考数学试卷=21),2015年江苏省高考数学试卷=1,﹣2),若m2015年江苏省高考数学试卷+n2015年江苏省高考数学试卷=9,﹣8)(mnR),则mn的值为 ﹣3

 

考点

平面向量的基本定理及其意义.菁优网版权所有

专题

平面向量及应用.

分析:

直接利用向量的坐标运算,求解即可.

解答:

解:向量2015年江苏省高考数学试卷=21),2015年江苏省高考数学试卷=1,﹣2),若m2015年江苏省高考数学试卷+n2015年江苏省高考数学试卷=9,﹣8

可得2015年江苏省高考数学试卷,解得m=2n=5

∴mn=3

故答案为:﹣3

点评:

本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力.

7.(5分)(2015江苏)不等式22015年江苏省高考数学试卷4的解集为 (﹣12) 

 

考点

指、对数不等式的解法.菁优网版权所有

专题

函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

分析:

利用指数函数的单调性转化为x2x2,求解即可.

解答:

解;∵22015年江苏省高考数学试卷4

∴x2x2

x2x20

解得:﹣1x2

故答案为:(﹣12

点评:

本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不大.

8.(5分)(2015江苏)已知tanα=2tanα+β=2015年江苏省高考数学试卷,则tanβ的值为3

 

考点

两角和与差的正切函数.菁优网版权所有

专题

三角函数的求值.

分析:

直接利用两角和的正切函数,求解即可.

解答:

解:tanα=2tanα+β=2015年江苏省高考数学试卷

可知tanα+β=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷

2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷

解得tanβ=3

故答案为:3

点评:

本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查.

9.(5分)(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为2015年江苏省高考数学试卷

 

考点

棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有

专题

计算题;空间位置关系与距离.

分析:

由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r,求出体积,由前后体积相等列式求得r

解答:

解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为:2015年江苏省高考数学试卷

设新圆锥和圆柱的底面半径为r

则新圆锥和圆柱的体积和为:2015年江苏省高考数学试卷

2015年江苏省高考数学试卷,解得:2015年江苏省高考数学试卷

故答案为:2015年江苏省高考数学试卷

点评:

本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题.

10.(5分)(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中,以点(10)为圆心且与直线mxy2m1=0mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 (x12+y2=2

 

考点

圆的标准方程;圆的切线方程.菁优网版权所有

专题

计算题;直线与圆.

分析:

求出圆心到直线的距离d的最大值,即可求出所求圆的标准方程.

解答:

解:圆心到直线的距离d=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷

∴m=1时,圆的半径最大为2015年江苏省高考数学试卷

所求圆的标准方程为(x12+y2=2

故答案为:(x12+y2=2

点评:

本题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础.

11.(5分)(2015江苏)设数列{an}满足a1=1,且an+1an=n+1nN*),则数列{2015年江苏省高考数学试卷}的前10项的和为2015年江苏省高考数学试卷

 

考点

数列的求和;数列递推式.菁优网版权所有

专题

等差数列与等比数列.

分析:

数列{an}满足a1=1,且an+1an=n+1nN*),利用累加求和可得an=2015年江苏省高考数学试卷.再利用裂项求和即可得出.

解答:

解:数列{an}满足a1=1,且an+1an=n+1nN*),

n≥2时,an=anan1+…+a2a1+a1=+n+…+2+1=2015年江苏省高考数学试卷

n=1时,上式也成立,

∴an=2015年江苏省高考数学试卷

2015年江苏省高考数学试卷=22015年江苏省高考数学试卷

数列{2015年江苏省高考数学试卷}的前n项的和Sn=2015年江苏省高考数学试卷

=2015年江苏省高考数学试卷

=2015年江苏省高考数学试卷

数列{2015年江苏省高考数学试卷}的前10项的和为2015年江苏省高考数学试卷

故答案为:2015年江苏省高考数学试卷

点评:

本题考查了数列的累加求和方法、裂项求和方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

12.(5分)(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2y2=1右支上的一个动点,若点P到直线xy+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为2015年江苏省高考数学试卷

 

考点

双曲线的简单性质.菁优网版权所有

专题

计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:

双曲线x2y2=1的渐近线方程为x±y=0c的最大值为直线xy+1=0与直线xy=0的距离.

解答:

解:由题意,双曲线x2y2=1的渐近线方程为x±y=0

因为点P到直线xy+1=0的距离大于c恒成立,

所以c的最大值为直线xy+1=0与直线xy=0的距离,即2015年江苏省高考数学试卷

故答案为:2015年江苏省高考数学试卷

点评:

本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.

13.(5分)(2015江苏)已知函数fx=|lnx|gx=2015年江苏省高考数学试卷,则方程|fx+gx|=1实根的个数为4

 

考点

根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有

专题

综合题;函数的性质及应用.

分析:

:由|fx+gx|=1可得gx=fx±1,分别作出函数的图象,即可得出结论.

解答:

解:由|fx+gx|=1可得gx=fx±1

gx)与hx=fx+1的图象如图所示,图象有两个交点;

2015年江苏省高考数学试卷 

gx)与φx=fx)﹣1的图象如图所示,图象有两个交点;

2015年江苏省高考数学试卷 

所以方程|fx+gx|=1实根的个数为4

故答案为:4

点评:

本题考查求方程|fx+gx|=1实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

14.(5分)(2015江苏)设向量2015年江苏省高考数学试卷=cos2015年江苏省高考数学试卷sin2015年江苏省高考数学试卷+cos2015年江苏省高考数学试卷)(k=01212),则2015年江苏省高考数学试卷akak+1)的值为2015年江苏省高考数学试卷

 

考点

数列的求和.菁优网版权所有

专题

等差数列与等比数列;平面向量及应用.

分析:

利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出.

解答:

解:2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷

=2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷

=2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷

=2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷

2015年江苏省高考数学试卷akak+1=2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+…+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+…+2015年江苏省高考数学试卷

=2015年江苏省高考数学试卷+0+0

=2015年江苏省高考数学试卷

故答案为:92015年江苏省高考数学试卷

点评:

本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(14分)(2015江苏)在△ABC中,已知AB=2AC=3A=60°

1)求BC的长;

2)求sin2C的值.

 

考点

余弦定理的应用;二倍角的正弦.菁优网版权所有

专题

解三角形.

分析:

1)直接利用余弦定理求解即可.

2)利用正弦定理求出C的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可.

解答:

解:(1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+82×2×3×2015年江苏省高考数学试卷=7

所以BC=2015年江苏省高考数学试卷

2)由正弦定理可得:2015年江苏省高考数学试卷,则sinC=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷

∵ABBC∴C为锐角,

cosC=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷

因此sin2C=2sinCcosC=2×2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷

点评:

本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键.

16.(14分)(2015江苏)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AC⊥BCBC=CC1,设AB1的中点为DB1C∩BC1=E

求证:

1DE∥平面AA1C1C

2BC1⊥AB1

2015年江苏省高考数学试卷 

 

考点

直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.菁优网版权所有

专题

证明题;空间位置关系与距离.

分析:

1)根据中位线定理得DE∥AC,即证DE∥平面AA1C1C

2)先由直三棱柱得出CC1平面ABC,即证AC⊥CC1;再证明AC⊥平面BCC1B1,即证BC1⊥AC;最后证明BC1平面B1AC,即可证出BC1⊥AB1

解答:

证明:(1)根据题意,得;

EB1C的中点,DAB1的中点,所以DE∥AC

又因为DE平面AA1C1CAC平面AA1C1C

所以DE∥平面AA1C1C

2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,

所以CC1平面ABC

因为AC平面ABC

所以AC⊥CC1

又因为AC⊥BC

CC1平面BCC1B1

BC平面BCC1B1

BC∩CC1=C

所以AC⊥平面BCC1B1

又因为BC1平面平面BCC1B1

所以BC1⊥AC

因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,

所以BC1平面B1AC

又因为AB1平面B1AC

所以BC1⊥AB1

点评:

本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目.

17.(14分)(2015江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,MNC的两个端点,测得点Ml1l2的距离分别为5千米和40千米,点Nl1l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2l1在的直线分别为xy轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=2015年江苏省高考数学试卷(其中ab为常数)模型.

1)求ab的值;

2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t

请写出公路l长度的函数解析式ft),并写出其定义域;

t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.

2015年江苏省高考数学试卷 

 

考点

函数与方程的综合运用.菁优网版权所有

专题

综合题;导数的综合应用.

分析:

1)由题意知,点MN的坐标分别为(540),(202.5),将其分别代入y=2015年江苏省高考数学试卷,建立方程组,即可求ab的值;

2求出切线l的方程,可得AB的坐标,即可写出公路l长度的函数解析式ft),并写出其定义域;

gt=2015年江苏省高考数学试卷,利用导数,确定单调性,即可求出当t为何值时,公路l的长度最短,并求出最短长度.

解答:

解:(1)由题意知,点MN的坐标分别为(540),(202.5),

将其分别代入y=2015年江苏省高考数学试卷,得2015年江苏省高考数学试卷

解得2015年江苏省高考数学试卷

2由(1y=2015年江苏省高考数学试卷5≤x≤20),Pt2015年江苏省高考数学试卷),

∴y′=2015年江苏省高考数学试卷

切线l的方程为y2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷xt

设在点P处的切线lxy轴分别于AB点,则A2015年江苏省高考数学试卷0),B02015年江苏省高考数学试卷),

∴ft=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷t[520]

gt=2015年江苏省高考数学试卷,则g′t=2t2015年江苏省高考数学试卷=0,解得t=102015年江苏省高考数学试卷

t5102015年江苏省高考数学试卷)时,g′t)<0gt)是减函数;t102015年江苏省高考数学试卷20)时,g′t)>0gt)是增函数,

从而t=102015年江苏省高考数学试卷时,函数gt)有极小值也是最小值,

∴gtmin=300

∴ftmin=152015年江苏省高考数学试卷

答:t=102015年江苏省高考数学试卷时,公路l的长度最短,最短长度为152015年江苏省高考数学试卷千米.

点评:

本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.

18.(16分)(2015江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷=1ab0)的离心率为2015年江苏省高考数学试卷,且右焦点F到左准线l的距离为3

1)求椭圆的标准方程;

2)过F的直线与椭圆交于AB两点,线段AB的垂直平分线分别交直线lAB于点PC,若PC=2AB,求直线AB的方程.

2015年江苏省高考数学试卷 

 

考点

直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.菁优网版权所有

专题

直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:

1)运用离心率公式和准线方程,可得ac的方程,解得ac,再由abc的关系,可得b,进而得到椭圆方程;

2)讨论直线AB的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.

解答:

解:(1)由题意可得,e=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷

c+2015年江苏省高考数学试卷=3,解得c=1a=2015年江苏省高考数学试卷

b=1,即有椭圆方程为2015年江苏省高考数学试卷+y2=1

2)当AB⊥x轴,AB=2015年江苏省高考数学试卷CP=3,不合题意;

ABx轴不垂直,设直线ABy=kx1),Ax1y1),Bx2y2),

AB方程代入椭圆方程可得(1+2k2x24k2x+2k21=0

x1+x2=2015年江苏省高考数学试卷x1x2=2015年江苏省高考数学试卷

C2015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷),且|AB|=2015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷

k=0,则AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意;

k≠0,故PCy+2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷x2015年江苏省高考数学试卷),P(﹣22015年江苏省高考数学试卷),

从而|PC|=2015年江苏省高考数学试卷

|PC|=2|AB|,可得2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷,解得k=±1

此时AB的方程为y=x1y=x+1

点评:

本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题.

19.(16分)(2015江苏)已知函数fx=x3+ax2+babR).

1)试讨论fx)的单调性;

2)若b=ca(实数c是与a无关的常数),当函数fx)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣,﹣312015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷+∞),求c的值.

 

考点

利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.菁优网版权所有

专题

综合题;导数的综合应用.

分析:

1)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可得出fx)的单调性;

2)由(1)知,函数fx)的两个极值为f0=bf(﹣2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷+b,则函数fx)有三个不同的零点等价于f0f(﹣2015年江苏省高考数学试卷=b2015年江苏省高考数学试卷+b)<0,进一步转化为a0时,2015年江苏省高考数学试卷a+c0a0时,2015年江苏省高考数学试卷a+c0.设ga=2015年江苏省高考数学试卷a+c,利用条件即可求c的值.

解答:

解:(1∵fx=x3+ax2+b

∴f′x=3x2+2ax

f′x=0,可得x=0或﹣2015年江苏省高考数学试卷

a=0时,f′x)>0∴fx)在(﹣+∞)上单调递增;

a0时,x(﹣,﹣2015年江苏省高考数学试卷0+∞)时,f′x)>0x(﹣2015年江苏省高考数学试卷0)时,f′x)<0

函数fx)在(﹣,﹣2015年江苏省高考数学试卷),(0+∞)上单调递增,在(﹣2015年江苏省高考数学试卷0)上单调递减;

a0时,x(﹣0(﹣2015年江苏省高考数学试卷+∞)时,f′x)>0x0,﹣2015年江苏省高考数学试卷)时,f′x)<0

函数fx)在(﹣0),(﹣2015年江苏省高考数学试卷+∞)上单调递增,在(0,﹣2015年江苏省高考数学试卷)上单调递减;

2)由(1)知,函数fx)的两个极值为f0=bf(﹣2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷+b,则函数fx)有三个不同的零点等价于f0f(﹣2015年江苏省高考数学试卷=b2015年江苏省高考数学试卷+b)<0

∵b=ca

∴a0时,2015年江苏省高考数学试卷a+c0a0时,2015年江苏省高考数学试卷a+c0

ga=2015年江苏省高考数学试卷a+c

函数fx)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣,﹣312015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷+∞),

在(﹣,﹣3)上,ga)<0且在(12015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷+∞)上ga)>0均恒成立,

∴g(﹣3=c1≤0,且g2015年江苏省高考数学试卷=c1≥0

∴c=1

此时fx=x3+ax2+1a=x+1[x2+a1x+1a]

函数有三个零点,

∴x2+a1x+1a=0有两个异于﹣1的不等实根,

∴△=a1241a)>0,且(﹣12﹣(a1+1a≠0

解得a(﹣,﹣312015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷+∞),

综上c=1

点评:

本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,难度大.

20.(16分)(2015江苏)设a1a2a3a4是各项为正数且公差为dd≠0)的等差数列.

1)证明:22015年江苏省高考数学试卷22015年江苏省高考数学试卷22015年江苏省高考数学试卷22015年江苏省高考数学试卷依次构成等比数列;

2)是否存在a1d,使得a1a22a33a44依次构成等比数列?并说明理由;

3)是否存在a1d及正整数nk,使得a1na2n+ka3n+2ka4n+3k依次构成等比数列?并说明理由.

 

考点

等比关系的确定;等比数列的性质.菁优网版权所有

专题

等差数列与等比数列.

分析:

1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明;

2)利用反证法,假设存在a1d使得a1a22a33a44依次构成等比数列,推出矛盾,否定假设,得到结论;

3)利用反证法,假设存在a1d及正整数nk,使得a1na2n+ka3n+2ka4n+3k依次构成等比数列,得到a1na1+2dn+2k=a1+2d2n+k,且(a1+dn+ka1+3dn+3k=a1+2d2n+2k,利用等式以及对数的性质化简整理得到ln1+3tln1+2t+3ln1+2tln1+t=4ln1+3tln1+t),(**),多次构造函数,多次求导,利用零点存在定理,推出假设不成立.

解答:

解:(1)证明:2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷=2d,(n=123,)是同一个常数,

∴22015年江苏省高考数学试卷22015年江苏省高考数学试卷22015年江苏省高考数学试卷22015年江苏省高考数学试卷依次构成等比数列;

2)令a1+d=a,则a1a2a3a4分别为adaa+da+2dada>﹣2dd≠0

假设存在a1d使得a1a22a33a44依次构成等比数列,

a4=ad)(a+d3,且(a+d6=a2a+2d4

t=2015年江苏省高考数学试卷,则1=1t)(1+t3,且(1+t6=1+2t4,(﹣2015年江苏省高考数学试卷t1t≠0),

化简得t3+2t22=0*),且t2=t+1,将t2=t+1代入(*)式,

tt+1+2t+1)﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=2015年江苏省高考数学试卷

显然t=2015年江苏省高考数学试卷不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,

因此不存在a1d,使得a1a22a33a44依次构成等比数列.

3)假设存在a1d及正整数nk,使得a1na2n+ka3n+2ka4n+3k依次构成等比数列,

a1na1+2dn+2k=a1+2d2n+k,且(a1+dn+ka1+3dn+3k=a1+2d2n+2k

分别在两个等式的两边同除以=a12n+ka12n+2k,并令t=2015年江苏省高考数学试卷,(t2015年江苏省高考数学试卷t≠0),

则(1+2tn+2k=1+t2n+k,且(1+tn+k1+3tn+3k=1+2t2n+2k

将上述两个等式取对数,得(n+2kln1+2t=2n+kln1+t),

且(n+kln1+t+n+3kln1+3t=2n+2kln1+2t),

化简得,2k[ln1+2t)﹣ln1+t]=n[2ln1+t)﹣ln1+2t]

3k[ln1+3t)﹣ln1+t]=n[3ln1+t)﹣ln1+3t]

再将这两式相除,化简得,

ln1+3tln1+2t+3ln1+2tln1+t=4ln1+3tln1+t),(**

gt=4ln1+3tln1+t)﹣ln1+3tln1+2t+3ln1+2tln1+t),

g′t=2015年江苏省高考数学试卷[1+3t2ln1+3t)﹣31+2t2ln1+2t+31+t2ln1+t]

φt=1+3t2ln1+3t)﹣31+2t2ln1+2t+31+t2ln1+t),

φ′t=6[1+3tln1+3t)﹣21+2tln1+2t+31+tln1+t]

φ1t=φ′t),则φ1t=6[3ln1+3t)﹣4ln1+2t+ln1+t]

φ2t1t),则φ2t=2015年江苏省高考数学试卷0

g001020=0φ2t)>0

gt),φt),φ1t),φ2t)在(﹣2015年江苏省高考数学试卷0)和(0+∞)上均单调,

gt)只有唯一的零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立,

所以不存在a1d及正整数nk,使得a1na2n+ka3n+2ka4n+3k依次构成等比数列.

点评:

本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力,属于难题.

三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】

21.(10分)(2015江苏)如图,在△ABC中,AB=AC△ABC的外接圆⊙O的弦AEBC于点D

求证:△ABD∽△AEB

2015年江苏省高考数学试卷 

 

考点

相似三角形的判定.菁优网版权所有

专题

推理和证明.

分析:

直接利用已知条件,推出两个三角形的三个角对应相等,即可证明三角形相似.

解答:

证明:∵AB=AC∴∠ABD=∠C,又∵∠C=∠E∴∠ABD=∠E,又∠BAE是公共角,

可知:△ABD∽△AEB

点评:

本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.

【选修4-2:矩阵与变换】

22.(10分)(2015江苏)已知xyR,向量2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷是矩阵2015年江苏省高考数学试卷的属于特征值﹣2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.

 

考点

特征值与特征向量的计算.菁优网版权所有

专题

矩阵和变换.

分析:

利用A2015年江苏省高考数学试卷=22015年江苏省高考数学试卷,可得A=2015年江苏省高考数学试卷,通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论.

解答:

解:由已知,可得A2015年江苏省高考数学试卷=22015年江苏省高考数学试卷,即2015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷

2015年江苏省高考数学试卷,即2015年江苏省高考数学试卷

矩阵A=2015年江苏省高考数学试卷

从而矩阵A的特征多项式fλ=λ+2)(λ1),

矩阵A的另一个特征值为1

点评:

本题考查求矩阵及其特征值,注意解题方法的积累,属于中档题.

【选修4-4:坐标系与参数方程】

23.(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2+22015年江苏省高考数学试卷ρsinθ2015年江苏省高考数学试卷)﹣4=0,求圆C的半径.

 

考点

简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有

专题

计算题;坐标系和参数方程.

分析:

先根据x=ρcosθy=ρsinθ,求出圆的直角坐标方程,求出半径.

解答:

解:圆的极坐标方程为ρ2+22015年江苏省高考数学试卷ρsinθ2015年江苏省高考数学试卷)﹣4=0,可得ρ22ρcosθ+2ρsinθ4=0

化为直角坐标方程为x2+y22x+2y4=0

化为标准方程为(x12+y+12=6

圆的半径r=2015年江苏省高考数学试卷

点评:

本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,以及求点的极坐标的方法,关键是利用公式x=ρcosθy=ρsinθ,比较基础,

[选修4-5:不等式选讲】

24.(2015江苏)解不等式x+|2x+3|≥2

 

考点

绝对值不等式的解法.菁优网版权所有

专题

不等式.

分析:

思路1(公式法):利用|fx|≥gxfx≥gx),或fxgx);

思路2(零点分段法):对x的值分“x≥2015年江苏省高考数学试卷”“x2015年江苏省高考数学试卷进行讨论求解.

解答:

解法1x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2x

2x+3≥2x,或2x+3≥﹣(2x),

x≥2015年江苏省高考数学试卷,或x≤5

即原不等式的解集为{x|x≥2015年江苏省高考数学试卷,或x≤5}

解法2:令|2x+3|=0,得x=2015年江苏省高考数学试卷

x≥2015年江苏省高考数学试卷时,原不等式化为x+2x+3≥2,即x≥2015年江苏省高考数学试卷

所以x≥2015年江苏省高考数学试卷

②x2015年江苏省高考数学试卷时,原不等式化为x﹣(2x+3≥2,即x≤5

所以x≤5

综上,原不等式的解集为{x|x≥2015年江苏省高考数学试卷,或x≤5}

点评:

本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法,不管用哪种方法,其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号,利用公式法要快捷一些,其套路为:|fx|≥gxfx≥gx),或fxgx);|fx|≤gxgx≤fx≤gx).可简记为:大于号取两边,小于号取中间.使用零点分段法时,应注意:同一类中取交集,类与类之间取并集.

【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤

25.(10分)(2015江苏)如图,在四棱锥PABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=2015年江苏省高考数学试卷PA=AD=2AB=BC=1

1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;

2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQDP所成的角最小时,求线段BQ的长.

2015年江苏省高考数学试卷 

 

考点

二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算.菁优网版权所有

专题

空间位置关系与距离;空间角.

分析:

A为坐标原点,以ABADAP所在直线分别为xyz轴建系Axyz

1)所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可;

2)利用换元法可得cos22015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷,结合函数y=cosx在(02015年江苏省高考数学试卷)上的单调性,计算即得结论.

解答:

解:以A为坐标原点,以ABADAP所在直线分别为xyz轴建系Axyz如图,

由题可知B100),C110),D020),P002).

1∵AD⊥平面PAB2015年江苏省高考数学试卷=020),是平面PAB的一个法向量,

2015年江苏省高考数学试卷=11,﹣2),2015年江苏省高考数学试卷=02,﹣2),

设平面PCD的法向量为2015年江苏省高考数学试卷=xyz),

2015年江苏省高考数学试卷,得2015年江苏省高考数学试卷

y=1,得2015年江苏省高考数学试卷=111),

∴cos2015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷

平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为2015年江苏省高考数学试卷

22015年江苏省高考数学试卷=(﹣102),设2015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷=(﹣λ0)(0≤λ≤1),

2015年江苏省高考数学试卷=0,﹣10),则2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷=(﹣λ,﹣1),

2015年江苏省高考数学试卷=0,﹣22),从而cos2015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷

1+2λ=tt[13]

cos22015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷

当且仅当t=2015年江苏省高考数学试卷,即λ=2015年江苏省高考数学试卷时,|cos2015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷|的最大值为2015年江苏省高考数学试卷

因为y=cosx在(02015年江苏省高考数学试卷)上是减函数,此时直线CQDP所成角取得最小值.

∵BP=2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷∴BQ=2015年江苏省高考数学试卷BP=2015年江苏省高考数学试卷

2015年江苏省高考数学试卷 

点评:

本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

26.(10分)(2015江苏)已知集合X={123}Yn={123n)(nN*),设Sn={ab|a整除b或整除aaXBYn},令fn)表示集合Sn所含元素的个数.

1)写出f6)的值;

2)当n≥6时,写出fn)的表达式,并用数学归纳法证明.

 

考点

数学归纳法.菁优网版权所有

专题

综合题;点列、递归数列与数学归纳法.

分析:

1f6=6+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷=13

2)根据数学归纳法的证明步骤,分类讨论,即可证明结论.

解答:

解:(1f6=6+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷=13

2)当n≥6时,fn=2015年江苏省高考数学试卷

下面用数学归纳法证明:

①n=6时,f6=6+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷=13,结论成立;

假设n=kk≥6)时,结论成立,那么n=k+1时,Sk+1Sk的基础上新增加的元素在(1k+1),(2k+1),(3k+1)中产生,分以下情形讨论:

1)若k+1=6t,则k=6t1+5,此时有fk+1=fk+3=k+1+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷,结论成立;

2)若k+1=6t+1,则k=6t+1,此时有fk+1=fk+1=k+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+1=k+1+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷,结论成立;

3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有fk+1=fk+2=k+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2=k+1+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷,结论成立;

4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有fk+1=fk+2=k+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2=k+1+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷,结论成立;

5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有fk+1=fk+2=k+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2=k+1+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷,结论成立;

6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有fk+1=fk+2=k+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷+2=k+1+2+2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷,结论成立.

综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.

点评:

本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确归纳是关键.


               2015年江苏省高考数学试卷

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)

1.(5分)(2015江苏)已知集合A={123}B={245},则集合A∪B中元素的个数为      

2.(5分)(2015江苏)已知一组数据465876,那么这组数据的平均数为      

3.(5分)(2015江苏)设复数z满足z2=3+4ii是虚数单位),则z的模为      

4.(5分)(2015江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S      

2015年江苏省高考数学试卷 

5.(5分)(2015江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为      

6.(5分)(2015江苏)已知向量2015年江苏省高考数学试卷=21),2015年江苏省高考数学试卷=1,﹣2),若m2015年江苏省高考数学试卷+n2015年江苏省高考数学试卷=9,﹣8)(mnR),则mn的值为      

7.(5分)(2015江苏)不等式22015年江苏省高考数学试卷4的解集为      

8.(5分)(2015江苏)已知tanα=2tanα+β=2015年江苏省高考数学试卷,则tanβ的值为      

9.(5分)(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为      

10.(5分)(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中,以点(10)为圆心且与直线mxy2m1=0mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为      

11.(5分)(2015江苏)设数列{an}满足a1=1,且an+1an=n+1nN*),则数列{2015年江苏省高考数学试卷}的前10项的和为      

12.(5分)(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2y2=1右支上的一个动点,若点P到直线xy+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为      

13.(5分)(2015江苏)已知函数fx=|lnx|gx=2015年江苏省高考数学试卷,则方程|fx+gx|=1实根的个数为      

14.(5分)(2015江苏)设向量2015年江苏省高考数学试卷=cos2015年江苏省高考数学试卷sin2015年江苏省高考数学试卷+cos2015年江苏省高考数学试卷)(k=01212),则2015年江苏省高考数学试卷akak+1)的值为      

二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(14分)(2015江苏)在△ABC中,已知AB=2AC=3A=60°

1)求BC的长;

2)求sin2C的值.

16.(14分)(2015江苏)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AC⊥BCBC=CC1,设AB1的中点为DB1C∩BC1=E

求证:

1DE∥平面AA1C1C

2BC1⊥AB1

2015年江苏省高考数学试卷 

17.(14分)(2015江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,MNC的两个端点,测得点Ml1l2的距离分别为5千米和40千米,点Nl1l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2l1在的直线分别为xy轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=2015年江苏省高考数学试卷(其中ab为常数)模型.

1)求ab的值;

2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t

请写出公路l长度的函数解析式ft),并写出其定义域;

t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.

2015年江苏省高考数学试卷 

18.(16分)(2015江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆2015年江苏省高考数学试卷+2015年江苏省高考数学试卷=1ab0)的离心率为2015年江苏省高考数学试卷,且右焦点F到左准线l的距离为3

1)求椭圆的标准方程;

2)过F的直线与椭圆交于AB两点,线段AB的垂直平分线分别交直线lAB于点PC,若PC=2AB,求直线AB的方程.

2015年江苏省高考数学试卷 

19.(16分)(2015江苏)已知函数fx=x3+ax2+babR).

1)试讨论fx)的单调性;

2)若b=ca(实数c是与a无关的常数),当函数fx)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣,﹣312015年江苏省高考数学试卷2015年江苏省高考数学试卷+∞),求c的值.

20.(16分)(2015江苏)设a1a2a3a4是各项为正数且公差为dd≠0)的等差数列.

1)证明:22015年江苏省高考数学试卷22015年江苏省高考数学试卷22015年江苏省高考数学试卷22015年江苏省高考数学试卷依次构成等比数列;

2)是否存在a1d,使得a1a22a33a44依次构成等比数列?并说明理由;

3)是否存在a1d及正整数nk,使得a1na2n+ka3n+2ka4n+3k依次构成等比数列?并说明理由.

三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】

21.(10分)(2015江苏)如图,在△ABC中,AB=AC△ABC的外接圆⊙O的弦AEBC于点D

求证:△ABD∽△AEB

2015年江苏省高考数学试卷 

【选修4-2:矩阵与变换】

22.(10分)(2015江苏)已知xyR,向量2015年江苏省高考数学试卷=2015年江苏省高考数学试卷是矩阵2015年江苏省高考数学试卷的属于特征值﹣2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.

【选修4-4:坐标系与参数方程】

23.(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2+22015年江苏省高考数学试卷ρsinθ2015年江苏省高考数学试卷)﹣4=0,求圆C的半径.

[选修4-5:不等式选讲】

24.(2015江苏)解不等式x+|2x+3|≥2

【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤

25.(10分)(2015江苏)如图,在四棱锥PABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=2015年江苏省高考数学试卷PA=AD=2AB=BC=1

1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;

2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQDP所成的角最小时,求线段BQ的长.

2015年江苏省高考数学试卷 

26.(10分)(2015江苏)已知集合X={123}Yn={123n)(nN*),设Sn={ab|a整除b或整除aaXBYn},令fn)表示集合Sn所含元素的个数.

1)写出f6)的值;

2)当n≥6时,写出fn)的表达式,并用数学归纳法证明.


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